勤務した時間を手帳に書き込んだメモしか資料がありません。それでも残業代請求の証拠に使えますか？

未払い残業代を請求する際は、タイムカードなどの客観性の高い証拠があるのが望ましいことはもちろんです。
しかし、勤務時間を書き込んだメモに価値がないかといえばそんなことはありません。メモを根拠に残業時間を算定することができますし、メモであっても十分証拠として利用できます。

ただ、本人が自由に書けるものであるという点は否定できないので、タイムカードのような客観性の高い証拠に比べて価値が劣ることは事実です。使用者側がメモは信用できないとして争ってきた場合には、メモ以外のさまざまな資料（たとえばGPS記録など）からメモの記載を裏付けていく必要があるでしょう。メモの記載がどのくらい認められるかはその裏付け作業がどの程度うまくいくかという点にもかかってきます。

また、どの程度の証拠が必要となるかについては、残業代を請求する手段によって異なります。
通常は任意交渉、労働審判、訴訟の順でより厳格な立証活動が必要となってきますので、手持ちの証拠に合わせて手段を選択していくことも重要です。